[백준/2193번/C++] 이친수

문제

0과 1로만 이루어진 수를 이진수라 한다. 이러한 이진수 중 특별한 성질을 갖는 것들이 있는데, 이들을 이친수(pinary number)라 한다. 이친수는 다음의 성질을 만족한다.

이친수는 0으로 시작하지 않는다.
이친수에서는 1이 두 번 연속으로 나타나지 않는다. 즉, 11을 부분 문자열로 갖지 않는다.
예를 들면 1, 10, 100, 101, 1000, 1001 등이 이친수가 된다. 하지만 0010101이나 101101은 각각 1, 2번 규칙에 위배되므로 이친수가 아니다.

N(1 ≤ N ≤ 90)이 주어졌을 때, N자리 이친수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N이 주어진다.

출력

첫째 줄에 N자리 이친수의 개수를 출력한다.

예제 입력

3

예제 출력

2

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풀이에 사용할 알고리즘 구상

결론부터 말하자면, i번째 자리에 0이 올 수 있는 경우의 수를 저장하는 벡터 zeros와 i번째 자리에 1이 올 수 있는 경우의 수를 저장하는 벡터 ones를 만들고, 이 두 벡터에 N번에 걸쳐 원소를 추가한 뒤 zeros와 ones의 마지막 원소를 더하면 된다. DP 배열을 두 개 만드는 경우라고 생각하면 편하다.

 

문제에서 정의한 대로, 이친수는 무조건 1로 시작한다. 그리고 이친수는 11을 부분 문자열로 갖지 않기 때문에 길이가 2 이상인 이친수는 무조건 10으로 시작한다. 그리고 세 번째 자리부터는 그 전에 어떤 숫자가 나왔느냐에 따라 0이나 1이 올 수 있다. 이를 표현하면 다음 그림과 같다.

 

자릿수를 늘려가며 이친수를 만드는 과정

 

이 때 i번째 자리에 0이 올 수 있는 경우의 수를 저장하는 벡터 zeros를 만든다고 생각해보자. 첫 번째 자리에는 0이 올 수 없고, 두 번째 자리에는 무조건 0이 올 수 밖에 없으므로 zeros는 [0, 1, ...]이 될 것이다. 마찬가지로 i번째 자리에 1이 올 수 있는 경우의 수를 저장하는 벡터 ones를 만든다면, ones는 [1, 0, ...]이 된다.

 

이 벡터들을 채워나가보자. 1 뒤에는 1이 올 수 없다는 규칙을 생각하면 별로 어렵지 않게 벡터들을 채워나갈 수 있을 것이다.

 

0은 앞에 어떤 수가 왔던 간에 상관없이 올 수 있기 때문에 zeros[i]는 zeros[i-1]와 ones[i-1]의 경우의 수를 모두 더한 값이 된다. 이에 반해 1은 앞에 0이 왔을 경우에만 올 수 있으므로 경우의 수가 앞 자리 0이 오는 경우의 수와 같도록 고정되므로 ones[i]는 zeros[i-1]와 같게 된다.

 

이를 정리하면, ones와 zeros에 대해 다음과 같은 점화식이 성립하는 것을 확인할 수 있다. (단, i는 1 이상인 경우)

zeros[i] = zeros[i-1] + ones[i-1]
ones[i] = zeros[i-1]

이 점화식을 기반으로 zeros와 ones의 원소를 N번 추가하고 마지막으로 추가한 원소 각각을 더하면 N자리 이친수로 정해지는 모든 경우의 수를 구하게 된다.

제출 코드

#include <vector>
#include <string>
#include <iostream>

using namespace std;

int main(){
    vector<long long> zeros;
    vector<long long> ones;
    zeros.push_back(0);
    ones.push_back(1);
    int N; cin >> N;
    for (int i = 0; i < N; i++){
        zeros.push_back(zeros[i] + ones[i]);
        ones.push_back(zeros[i]);
    }
    cout << zeros[N-1] + ones[N-1];
    return 0;

}

회고

코드를 작성하던 중간에 깨달은 점이 있는데 사실 N자리 이친수의 개수는 피보나치 수열의 N번째 원소와 같다. 따라서 피보나치 수열의 원소를 구하는 수많은 방법 중 하나를 골라서 문제를 풀어도 정답을 맞출 수 있다.

 

왜 N자리 이친수의 개수와 피보나치 수열의 N번째 원소와 같을까? 위에서 답을 출력할 때 결국은 zeros와 ones의 합을 구했었다. zeros와 ones의 점화식의 합을 구해서 정리해보면 그 이유를 알 수 있다.

// zeros와 ones의 점화식을 가져오면,
1: zeros[i] = zeros[i-1] + ones[i-1]
2: ones[i] = zeros[i-1]

// 두 식의 합을 구하면,
3: zeros[i] + ones[i] = zeros[i-1] + ones[i-1] + zeros[i-1]

// 3번 식의 i에 i-1을 대입하면,
4: zeros[i-1] + ones[i-1] = zeros[i-2] + ones[i-2] + zeros[i-2]

// 4번 식을 3번 식의 우변에 대입하면,
5: zeros[i] + ones[i] = zeros[i-2] + ones[i-2] + zeros[i-2] + zeros[i-1]

// 2번 식의 i에 i-1을 대입하면,
6: ones[i-1] = zeros[i-2]

// 6번 식이 참이므로 5번 식의 zeros[i-2] 하나를 ones[i-1]로 치환하면,
7: zeros[i] + ones[i] = zeros[i-2] + ones[i-2] + ones[i-1] + zeros[i-1]

// zeros[i] + ones[i]가 최종 구하고자 하는 답이므로 이를 answer[i]로 나타내면,
8: answer[i] = answer[i-2] + answer[i-1]

따라서 최종적으로 구하고자 하는 답은 피보나치 수열의 형태를 띤다.